Barisan dan Deret Aritmatika Beserta Contoh Soal Pembahasan

Salah satu materi penting dalam matematika adalah barisan dan deret aritmatika. Artikel ini membahas tuntas barisan dan deret aritmatika beserta contoh soal pembahasan. Selain itu, dijelaskan juga langkah-langkah pembuktian rumus deret aritmatika.

Bagi sobat yang masih bingung apa itu barisan dan deret aritmatika serta apa perbedaan keduanya, silahkan simak artikel ini sampai selesai.

Pengertian Barisan Aritmatika

Barisan aritmatika adalah barisan yang nilai setiap sukunya diperoleh dari hasil penjumlahan atau pengurangan suatu bilangan dengan suku sebelumnya. Sehingga pola yang terbentuk berupa pola penjumlahan atau pengurangan.

Dari pengertian di atas, dapat kita ketahui ciri utama barisan aritmatika, yaitu memiliki selisih atau beda yang sama antara suku berdekatan kemudian disimbolkan dengan $b$. Sedangkan nilai suku pertama barisan tersebut disimbolkan dengan $a$.

Rumus Barisan Aritmatika

Jika diketahui barisan aritmatika adalah sebagai berikut

$U_1,U_2,U_3,U_4,...,U_n$

$a,(a+b),(a+2b),(a+3b),...,(a+(n-1)b)$

Baca juga : Cara Pintar Matematika Tanpa Belajar

Maka rumus barisan aritmatika untuk menghitung suku ke-n $(U_n)$ barisan tersebut adalah sebagai berikut

$U_n=a+(n-1)b$ ... (1)

Keterangan

$a=U_1$

$b=U_2-U_1=U_3-U_2=U_n-U_{n-1}$

Pengertian Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah jumlahan suku-suku dalam barisan aritmatika. Artinya, jika terdapat suku-suku dari suatu barisan aritmatika, maka deret aritmatikanya adalah penjumlahan suku-suku tersebut.

Jumlah suku-suku pertama barisan aritmatika sampai suku ke-n disimbolkan dengan $S_n$. Misalkan diketahui suatu barisan aritmatika adalah sebagai berikut

$U_1,U_2,...,U_n$

Maka, deret aritmatika barisan tersebut adalah

$S_n=U_1+U_2+...+U_n$ ... (2)

Rumus Deret Aritmatika

Pembuktian rumus deret aritmatika dapat kita lakukan dari rumus barisan aritmatika di persamaan (1) dan deret aritmatika persamaan (2). Berikut langkah-langkah menurunkan rumus deret aritmatika

Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2) untuk setiap $U_n$. Diperoleh

$S_n=a+(a+b)+...+(a+(n-1)b)$ ... (3)

Jumlahkan persamaan (3) dengan dirinya melalui susunan seperti berikut

$S_n=a+(a+b)+...+(a+(n-1)b)$

$\underset{―}{S_n=(a+(n-1)b)+(a+(n-2)b)+...+a}$ $+$

$2S_n=n[2a+(n-1)b]$

Akhirnya kita peroleh rumus deret aritmatika sebagai berikut

$S_n=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)$ ... (4)

Atau bentuk lain dari rumus deret aritmatika persamaan (4) dapat kita ketahui

$S_n=\frac{n}{2}[a+(a+(n-1)b)]$

$S_n=\frac{n}{2}[a+U_n]$ ... (5)

Perbedaan Barisan dan Deret Artimatika

Pada dasarnya perbedaan barisan dan deret aritmatika secara tidak langsung sudah disebutkan sebelumnya. Namun memang masih banyak yang belum paham apa perbedaan barisan aritmatika dan deret aritmatika.

Baca juga : Rumus Luas dan Keliling

Dari penjelasan di atas dapat kita simpulkan bahwa barisan aritmatika merupakan bilangan yang membentuk pola berupa penjumlahan atau pengurangan dengan selisih yang sama antara dua bilangan (suku) berdekatan.

Sedangkan deret aritmatika adalah hasil penjumlahan bilangan-bilangan (suku-suku) dari barisan aritmatika yang telah terbentuk.

Bagaimana? apakah sobat sudah paham?

Jika masih belum paham juga, mari kita menuju contoh soal pembahasan barisan dan deret aritmatika agar sobat dapat lebih memahaminya.

Contoh Soal Barisan Aritmatika dan Jawabannya

Soal No 1

Diketahui tiga buah bilangan yaitu (2x-1), (3x+1), dan (5x-1) membentuk barisan aritmatika.

1. Tentukan nilai x

2. Berapakah bilangan-bilangan itu?

3. Berapa beda dari barisan tersebut?

Pembahasan

Untuk menjawab soal ini, mari kita sebut (2x-1), (3x+1), (5x-1) sebagai $U_1,U_2,U_3$. Sehingga

$U_1=(2x-1)$

$U_2=(3x+1)$

$U_3=(5x-1)$

Kita tahu bahwa barisan tersebut adalah barisan aritmatika, sedangkan ciri barisan aritmatika mempunyai nilai selisih atau beda. Rumus beda aritmatika yaitu

$b=U_2-U_1=U_3-U_2=U_n-U_{n-1}$

a. Nilai x

Pertama kita akan pilih $U_1$ dan $U_2$

$b=U_2-U_1$

$b=(3x+1)-(2x-1)$

$b=3x+1-2x+1$

$b=x+2$ ...(i)

Selanjutnya kita akan pilih $U_2$ dan $U_3$

$b=U_3-U_2$

$b=(5x-1)-(3x+1)$

$b=5x-1-3x-1$

$b=2x-2$ ...(ii)

Karena persamaan (i) dan (ii) sama-sama $b$, maka bisa kita samakan seperti berikut

$b=b$

$x+2=2x-2$

$x-2x=-2-2$

$-x=-4$

$x=4$

Jadi, $x=4$

b. Nilai suku masing-masing

Dengan mengetahui nilai $x$, maka mudah kita cari $U_1,U_2,U_3$ dengan melakukan substitusi.

$U_1=(2x-1)$

$U_1=(2\times 4)-1$

$U_1=8-1=7$




$U_2=(3x+1)$

$U_2=(3\times 4)+1$

$U_2=12+1=13$




$U_3=(5x-1)$

$U_3=(5\times 4)-1$

$U_3=20-1=19$

c. Beda barisan $b$

Untuk mengetahui beda barisan, dapat kita gunakan persamaan (i) atau (ii) sebelumnya dengan mensubstitusikan nilai $x$.

Misal kita ambil persamaan (i)

$b=x+2$

$b=4+2=6$

Atau kita ambil persamaan (ii)

$b=2x-2$

$b=(2\times 4)-2$

$b=8-2=6$

Jadi, nilai beda barisan tersebut adalah $b=6$

Soal No 2

Diketahui barisan aritmatika 3, 8, 13, ...

1. Tentukan suku ke-10 dan rumus suku ke-n barisan tersebut!

2. Suku ke berapakah yang nilainya 198?

Pembahasan

Untuk menjawab soal ini mari kita misalkan terlebih dahulu $U_1,U_2,U_3$

$U_1=a=3$

$U_2=8$

$U_3=13$

Baca juga : Rumus Volume Bangun Ruang

Kemudian hitung nilai beda barisan tersebut

$b=U_2-U_1$

$b=8-3=5$

a. Suku ke-10 dan rumus suku ke-n

Suku ke-10 mudah kita hitung dengan rumus barisan aritmatika pada persamaan (1)

$U_n=a+(n-1)b$

$U_{10}=3+(10-1)5$

$U_{10}=3+(9)5$

$U_{10}=3+45=48$

Rumus suku ke-n barisan tersebut juga mudah kita rumuskan menggunakan rumus barisan aritmatika persamaan (1). Dengan mensubstitusi nilai $a$ dan $b$

$U_n=a+(n-1)b$

$U_n=3+(n-1)5$

$U_n=3+5n-5$

$U_n=5n-2$

b. Suku ke-n yang nilainya 198

Di sini kita mencari nilai $n$ dengan nilai $U_n=198$. Mari kita gunakan hasil rumus suku ke-n di jawaban a sebelumnya.

$U_n=5n-2$

$198=5n-2$

$198+2=5n$

$200=5n$

$n=\frac{200}{5}=40$

Jadi suku yang nilainya 198 pada barisan aritmatika tersebut adalah suku ke-40

Contoh Soal Deret Aritmatika dan Pembahasannya

Soal No 1

Diketahui deret aritmatika 17, 20, 23, 26, ... Jumlah tiga puluh suku pertama deret tersebut adalah ...

Pembahasan

Untuk menjawab soal tersebut mudah kita hitung dengan rumus deret aritmatika persamaan (4). Tapi sebelum itu mari kita cari terlebih dahulu nilai beda barisan tersebut.

$U_1=a=17$

$U_2=20$

$b=U_2-U_1$

$b=20-17=3$

Cari jumlah 30 suku pertama

$S_n=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)$ ... (4)

$S_{30}=\frac{30}{2}[(2\times 17)+(30-1)3]$

$S_{30}=15\times [34+(29)3]$

$S_{30}=15\times [34+87]$

$S_{30}=15\times 121$

$S_{30}=1815$

Jadi, jumlah tiga puluh suku pertama deret aritmatika tersebut adalah 1.815

Soal No 2

Dari barisan aritmatika diketahui suku ke-3 = 14 dan suku ke-7 = 26. Jumlah 18 suku pertama adalah ...

Pembahasan

Dalam soal ini kita diberikan dua suku barisan aritmatika

$U_3=14$

$U_7=26$

Jumlah 18 suku pertama bisa kita hitung apabila kita mengetahui suku pertama dan beda barisan.

Baca juga : Soal Matematika Kelas 9

Karena di soal tidak diketahui suku pertama dan beda barisannya, perlu kita melakukan manipulasi dengan bantuan rumus suku ke-n barisan aritmatika.

$U_n=a+(n-1)b$

Untuk $U_3$

$U_3=a+(3-1)b$

$14=a+2b$ ... (i)

Untuk $U_7$

$U_7=a+(7-1)b$

$26=a+6b$ ... (ii)

Lakukan eliminasi persamaan (i) dan (ii)

$26=a+6b$

$\underset{―}{14=a+2b}$ $-$

$12=4b$

$b=\frac{12}{4}=3$ ...(iii)

Substitusi nilai $b$ ke salah satu persamaan (i) dan (ii) untuk mencari nilai $a$

Jika dipilih persamaan (i)

$14=a+2b$

$a=14-2b$

$a=14-(2\times 3)$

$a=14-6=8$ ... (iv)

Jika dipilih persamaan (ii)

$26=a+6b$

$a=26-6b$

$a=26-(6\times 3)$

$a=26-18=8$ ... (iv)

Setelah kita peroleh nilai $a$ dan $b$, mari kita hitung jumlah 18 suku pertama barisan tersebut dengan rumus deret aritmatika persamaan (4)

$S_n=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)$

$S_{18}=\frac{18}{2}(2\times 8+(18-1)3)$

$S_{18}=9(16+(17)3)$

$S_{18}=9(16+51)$

$S_{18}=9\times 67=603$

Jadi jumlah 18 suku pertama deret aritmatika tersebut adalah 603

Penutup

Itulah sedikit penjelasan mengenai barisan dan deret aritmatika beserta contoh soal dan pembahasan yang bisa saya tulis pada kesempatan kali ini. Harapannya sobat semuanya dapat memahami materi barisan dan deret aritmatika.

Setelah mencoba memahami contoh soal dan pembahasan yang saya buat, silahkan mencoba latihan soal barisan dan deret aritmatika dari buku-buku pelajaran matematika lainnya.

Terakhir, jika artikel ini bermanfaat untuk sobat semuanya, silahkan share ke temen-temen lainnya agar menjadi ilmu yang bermanfaat untuk sesama.

Terima kasih atas kunjungannya.