Jembatan Wheatstone Lengkap Penurunan Rumus

Jembatan Wheatstone adalah susunan rangkaian listrik yang tidak bisa dihitung hambatan penggantinya hanya dengan rumus rangkaian seri dan paralel. Untuk menghitung hambatan penggantinya perlu melakukan analisis rangkaian Delta dan rangkaian Wye.

Rumus Jembatan Wheatstone merupakan hasil konversi rangkaian Delta ke rangkaian Wye. Untuk mengetahui proses penurunan rumus jembatan wheatstone beserta contoh soal jembatan wheatstone, mari simak tulisan ini sampai selesai. Karena dalam tulisan ini saya akan mengupas asal mula rumus jembatan wheatstone yang sebelumnya hanya kita hafalkan saja.

Sebelum menguraikan konversi rangkaian Delta ke rangkaian Wye untuk mengetahui rangkaian yang membentuk jembatan wheatstone, berikut ini tiga bentuk rangkaian jembatan wheatstone.

Secara bentuk visual, tiga rangkaian di atas tampak berbeda. Namun pada dasarnya ketiganya secara rangkaian listrik dipandang sama saja, silahkan perhatikan baik-baik. Jika sudah menemukan bahwa ketiga bentuk rangkaian tersebut memang sama, mari kita mulai untuk menguraikan asal usul rumus jembatan wheatstone.

Baca materi lain mengenai kelistrikan yang penting untuk dikuasai tentang konsep hukum khirchoff. Selain memahami konsepnya, sobat juga bisa memahami contoh soal hukum khirchoff dengan analisisnya.

Sebagaimana telah saya singgung sebelumnya, rumus jembatan wheatstone dihasilkan dari konversi rangkaian Delta ke rangkaian Wye. Mari perhatikan bentuk rangkaian Delta dan rangkaian Wye pada gambar berikut,

Rangkaian Wye

Hambatan pengganti di titik 1 dan 2

Karena titik 3 terputus, maka hambatan $R_2$ dapat diabaikan, sehingga hambatan $R_1$ dan $R_3$ menjadi seri

$R_{12} = R_1 + R_3$ ...(1)

Hambatan pengganti di titik 1 dan 3

Karena titik 2 atau 4 terputus, maka hambatan $R_3$ dapat diabaikan, sehingga hambatan $R_1$ dan $R_2$ menjadi seri

$R_{13} = R_1 + R_2$ ...(2)

Hambatan pengganti di titik 3 dan 4

Karena titik 1 terputus, maka hambatan $R_1$ dapat diabaikan, sehingga hambatan $R_2$ dan $R_3$ menjadi seri

$R_{34} = R_2 + R_3$ ...(3)

Rangkaian Delta

Hambatan pengganti di titik 1 dan 2

Karena titik 3 terputus, maka hambatan $R_a$ dan $R_c$ menjadi seri, kemudian tersusun paralel dengan $R_b$

$\frac{1}{R_{12}} = \frac{1}{R_b} + \frac{1}{R_a + R_c}$

$\frac{1}{R_{12}} = \frac{R_a + R_b + R_c}{R_b(R_a + R_c)}$

$R_{12}= \frac{R_b(R_a + R_c)}{R_a + R_b + R_c}$ ...(4)

Hambatan pengganti di titik 1 dan 3

Karena titik 2 atau 4 terputus, maka hambatan $R_a$ dan $R_b$ menjadi seri, kemudian tersusun paralel dengan $R_c$

$\frac{1}{R_{13}} = \frac{1}{R_c} + \frac{1}{R_a + R_b}$

$\frac{1}{R_{13}} = \frac{R_a + R_b + R_c}{R_c(R_a + R_b)}$

$R_{13}= \frac{R_c(R_a + R_b)}{R_a + R_b + R_c}$ ...(5)

Hambatan pengganti di titik 3 dan 4

Karena titik 1 terputus, maka hambatan $R_b$ dan $R_c$ menjadi seri, kemudian tersusun paralel dengan $R_a$

$\frac{1}{R_{34}} = \frac{1}{R_a} + \frac{1}{R_b + R_c}$

$\frac{1}{R_{34}} = \frac{R_a + R_b + R_c}{R_a(R_b + R_c)}$

$R_{34}= \frac{R_a(R_b + R_c)}{R_a + R_b + R_c}$ ...(6)

Perhatikan persamaan (1) dan persamaan (4) sama-sama $R_{12}$, maka bisa kita tuliskan menjadi seperti berikut

$R_{12} = R_1 + R_3 = \frac{R_b(R_a + R_c)}{R_a + R_b + R_c}$

$R_1 + R_3 = \frac{R_b(R_a + R_c)}{R_a + R_b + R_c}$ ...(7)

Perhatikan persamaan (2) dan persamaan (5) sama-sama $R_{13}$, maka bisa kita tuliskan menjadi seperti berikut

$R_{13} = R_1 + R_2 = \frac{R_c(R_a + R_b)}{R_a + R_b + R_c}$

$R_1 + R_2 = \frac{R_c(R_a + R_b)}{R_a + R_b + R_c}$ ...(8)

Perhatikan persamaan (3) dan persamaan (6) sama-sama $R_{34}$, maka bisa kita tuliskan menjadi seperti berikut

$R_{34} = R_2 + R_3 = \frac{R_a(R_b + R_c)}{R_a + R_b + R_c}$

$R_2 + R_3 = \frac{R_a(R_b + R_c)}{R_a + R_b + R_c}$ ...(9)

Selanjutnya mari kita kurangkan persamaan (7) dengan persamaan (9)

$R_1 + R_3 = \frac{R_b(R_a + R_c)}{R_a + R_b + R_c}$

$\underline{R_2 + R_3 = \frac{R_a(R_b + R_c)}{R_a + R_b + R_c}} -$

$R_1 - R_2 = \frac{R_bR_c - R_aR_c}{R_a + R_b + R_c}$

$R_1 - R_2 = \frac{R_c(R_b - R_a)}{R_a + R_b + R_c}$ ...(10)

Selanjutnya mari kita kurangkan persamaan (8) dengan persamaan (7)

$R_1 + R_2 = \frac{R_c(R_a + R_b)}{R_a + R_b + R_c}$

$\underline{R_1 + R_3 = \frac{R_b(R_a + R_c)}{R_a + R_b + R_c}}-$

$R_2 - R_3 = \frac{R_cR_a - R_bR_a}{R_a + R_b + R_c}$

$R_2 - R_3 = \frac{R_a(R_c - R_b)}{R_a + R_b + R_c}$ ...(11)

Selanjutnya mari kita kurangkan persamaan (9) dengan persamaan (8)

$R_2 + R_3 = \frac{R_a(R_b + R_c)}{R_a + R_b + R_c}$

$\underline{R_1 + R_2 = \frac{R_c(R_a + R_b)}{R_a + R_b + R_c}}-$

$R_3 - R_1 = \frac{R_aR_b - R_cR_b}{R_a + R_b + R_c}$

$R_3 - R_1 = \frac{R_b(R_a - R_c)}{R_a + R_b + R_c}$ ...(12)

Jumlahkan persamaan (8) dengan persamaan (10)

$R_1 + R_2 = \frac{R_c(R_a + R_b)}{R_a + R_b + R_c}$

$\underline{R_1 - R_2 = \frac{R_c(R_b - R_a)}{R_a + R_b + R_c}}+$

$2R_1 = \frac{R_c(R_a + R_b) + R_c(R_b - R_a)}{R_a + R_b + R_c}$

$2R_1 = \frac{2R_cR_b}{R_a + R_b + R_c}$

$R_1 = \frac{R_bR_c}{R_a + R_b + R_c}$ ...(13)

Jumlahkan persamaan (9) dengan persamaan (11)

$R_2 + R_3 = \frac{R_a(R_b + R_c)}{R_a + R_b + R_c}$

$\underline{R_2 - R_3 = \frac{R_a(R_c - R_b)}{R_a + R_b + R_c}}+$

$2R_2 = \frac{R_a(R_b + R_c) + R_a(R_c - R_b)}{R_a + R_b + R_c}$

$2R_2 = \frac{2R_aR_c}{R_a + R_b + R_c}$

$R_2 = \frac{R_aR_c}{R_a + R_b + R_c}$ ...(14)

Jumlahkan persamaan (7) dengan persamaan (12)

$R_1 + R_3 = \frac{R_b(R_a + R_c)}{R_a + R_b + R_c}$

$\underline{R_3 - R_1 = \frac{R_b(R_a - R_c)}{R_a + R_b + R_c}}+$

$2R_3 = \frac{R_b(R_a + R_c) + R_b(R_a - R_c)}{R_a + R_b + R_c}$

$2R_3 = \frac{2R_aR_b}{R_a + R_b + R_c}$

$R_3 = \frac{R_aR_b}{R_a + R_b + R_c}$ ...(15)

Perhatikan persamaan (13), (14) dan (15). Itulah hasil akhir untuk rumus jembatan wheatstone yang kita kenal. Mari kita ringkas agar sobat yang lebih suka menghapal rumus menjadi lebih mudah

Rumus Jembatan Wheatstone

$R_1 = \frac{R_bR_c}{R_a + R_b + R_c}$

$R_2 = \frac{R_aR_c}{R_a + R_b + R_c}$

$R_3 = \frac{R_aR_b}{R_a + R_b + R_c}$

Setelah mengetahui hambatan $R_1, R_2, R_3$ maka dapat kita analisis rangkaian baru untuk menghitung hambatan penggantinya dengan analisa gabungan rangkaian seri dan paralel. Berikut rangkaian barunya

Dari rumus jembatan wheatstone di atas, apabila selisih hasil kali silang antar hambatan bernilai nol maka hambatan $R_c$ tidak akan dilalui arus $i_c = 0$.

$(R_a \times R_e) - (R_b \times R_d) = 0$

$R_c$ dapat diabaikan

Sehingga kita bisa menghitung secara langsung hambatan penggantinya cukup dengan analisa rangkaian seri dan paralel saja. Inilah yang kemudian menjadi prinsip kerja jembatan wheatstone.

Untuk memperkuat pemahaman mari kita buktikan pada pembahasan contoh soal jembatan wheatstone.

Contoh Soal Jembatan Wheatstone

Suatu hambatan rangkaian listrik tersusun seperti tampak pada gambar dibawah ini.

Jika diketahui $R_a = R_e = 4 \Omega$, $R_b = 2 \Omega$, $R_d = 8 \Omega$ dan $R_c = 2 \Omega$. Maka tentukan hambatan pengganti totalnya

Informasi dari soal :

$R_a = R_e = 4 \Omega$

$R_b = 2 \Omega$

$R_d = 8 \Omega$

$R_c = 2 \Omega$

Perhatikan bahwa rangkaian pada soal ini merupakan bentuk 2 rangkaian jembatan wheatstone. Sehingga kita bisa lakukan perhitungan dengan rumus yang telah kita turunkan sebelumnya. Pertama mari kita gambarkan analisa rangkaiannya sebagai berikut

Mari kita gunakan rumus jembatan wheatstone untuk mencari $R_1, R_2, R_3$

Menghitung $R_1$

$R_1 = \frac{R_bR_c}{R_a + R_b + R_c}$

$R_1 = \frac{2 \times 2}{4 + 2 + 2} = \frac{1}{2} \Omega$

Menghitung $R_2$

$R_2 = \frac{R_aR_c}{R_a + R_b + R_c}$

$R_2 = \frac{4 \times 2}{4 + 2 + 2} = 1 \Omega$

Menghitung $R_3$

$R_3 = \frac{R_aR_b}{R_a + R_b + R_c}$

$R_3 = \frac{4 \times 2}{4 + 2 + 2} = 1 \Omega$

Maka rangkaian barunya terjadi susunan seri antara $R_2$ dengan $R_d$, $R_1$ dengan $R_e$. Sedangkan hambatan $R_2, R_d$ dengan $R_1, R_e$ merupakan susunan rangkaian paralel kemudian diserikan dengan $R_3$

Kita hitung hambatan pengganti $R_2$ dengan $R_d$ yang tersusun seri

$R_{s1} = R_2 + R_d = 1 + 8$

$R_{s1} = 9 \Omega$

Kita hitung hambatan pengganti $R_1$ dengan $R_e$ yang tersusun seri

$R_{s2} = R_1 + R_e = \frac{1}{2} + 4$

$R_{s2} = \frac{9}{2} \Omega$

Kita hitung hambatan pengganti $R_{s1}$ dengan $R_{s2}$ yang tersusun paralel

$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_{s1}} + \frac{1}{R_{s2}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{\frac{9}{2}}$

$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{9} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9}$

$R_p = 3 \Omega$

Kita hitung hambatan pengganti totalnya yang tersusun seri antara $R_3$ dengan $R_p$

$R_t = R_3 + R_p = 1 + 3$

$R_t = 4 \Omega$

Itulah hambatan pengganti totalnya dari rangkaian tersebut. Sekarang mari kita gunakan prinsip kerja jembatan wheatstone mengenai selisih hasil kali silang hambatan

$(R_a \times R_e) - (R_b \times R_d)$

$(4 \times 4) - (2 \times 8) = 0$

Karena selisih hasil kali silang bernilai nol, maka hambatan $R_c$ bisa kita abaikan saja. Sehingga rangkaian yang terbentuk $R_a$ dengan $R_d$, $R_b$ dengan $R_e$ masing-masing tersusun seri. Kemudian keduanya membentuk rangkaian paralel. Mari kita hitung

$R_{s1} = R_a + R_d = 4 + 8$

$R_{s1} = 12 \Omega$

$R_{s2} = R_b + R_e = 2 + 4$

$R_{s2} = 6 \Omega$

$\frac{1}{R_t} = \frac{1}{R_{s1}} + \frac{1}{R_{s2}} = \frac{1}{12} + \frac{1}{6}$

$\frac{1}{R_t} = \frac{1 + 2}{12} = \frac{3}{12}$

$R_t = 4 \Omega$

Hasil akhirnya tampak sama persis, sehingga apabila menemukan bentuk rangkaian jembatan wheatstone baik bentuk 1, bentuk 2 maupun bentuk ke 3 dapat kita gunakan terlebih dahulu prinsip kerja jembatan wheatstone dengan selisih kali silang.

Apabila hasil selisih kali silang tidak nol, maka lanjutkan dengan melakukan konversi rangkaian Delta ke rangkaian Wye. Bisa juga dengan rumus jembatan wheatstone yang telah kita turunkan bersama pada tulisan ini.

Penutup

Saya rasa satu contoh soal jembatan wheatstone untuk tulisan ini cukup, karena dalam pembahasannya pun saya telah menjelaskan juga dengan rumus jembatan wheatstone maupun dengan prinsip kerjanya. Untuk bentuk rangkaian ke 1 dan ke 3 saya anggap sama karena memang ketiganya sama persis dari sisi rangkaian elektronika.

Apabila sobat merasa kebingungan dalam mengikuti tulisan ini, silahkan sampaikan pada kolom komentar maupun melalui kontak saya yang tersedia pada blog ini. Besar harapan saya agar sobat bisa memahami materi jembatan wheatstone yang telah saya tuliskan ini.

Semoga bermanfaat dan mohon maaf apabila terdapat banyak kekeliruan atau kekurangan lainnya.

Terimakasih atas kunjungannya.