Rumus Persamaan Kuadrat dan Contoh Soal

Rumus persamaan kuadrat merupakan salah satu materi matematika yang sering digunakan sejak SMP sampai kuliah. Oleh karena itu, mengetahui dan memahami persamaan kuadrat akan sangat berguna bagi kamu yang hendak melanjutkan pendidikan hingga ke perguruan tinggi khususnya saintek.

Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat merupakan bentuk matematika yang menyatakan hubungan sama dengan yang memiliki pangkat tertinggi dua. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah sebagai berikut.

$a x^{2} + b x + c = 0$ ... (1)

Di mana $a, b, c$ merupakan anggota bilangan real dengan $a \neq 0$ . Adapun $a$ merupakan koefisien x kuadrat ( $x^{2}$ ), $b$ merupakan koefisien x dan $c$ merupakan konstanta.

Rumus Persamaan Kuadrat

Terdapat beberapa rumus persamaan kuadrat yang sering digunakan dalam menyelesaikan fungsi kuadrat. Di antaranya sebagai berikut.

Pemfaktoran Persamaan Kuadrat

Pemfaktoran atau faktorisasi merupakan salah satu metode yang biasa dilakukan untuk mencari akar-akar dari suatu fungsi kuadrat. Adapun bentuk-bentuk pemfaktoran persamaan kuadrat yang umum adalah:

$x^{2} + 2 x y + y^{2} = 0$ , faktorisasi akar-akar yang memenuhi yaitu $(x + y)^{2} = 0$

$x^{2} - 2 x y + y^{2} = 0$ , faktorisasi akar-akar yang memenuhi yaitu $(x - y)^{2} = 0$

$x^{2} - y^{2} = 0$ , faktorisasi akar-akar yang memenuhi yaitu $(x + y) (x - y) = 0$

Kuadrat Sempurna

Bentuk persamaan kuadrat sempurna merupakan bentuk persamaan kuadrat yang dapat menghasilkan bilangan rasional. Rumus persamaan kuadrat sempurna adalah:

$(x + p)^{2} = x^{2} + 2 p x + p^{2}$

Jika $(x + p)^{2} = q$ , maka:

$(x + p) = \pm \sqrt{q}$

$x_{1, 2} = - p \pm \sqrt{q}$

$x_{1} = - p + \sqrt{q}$ ...(2)

$x_{2} = - p - \sqrt{q}$ ...(3)

Rumus ABC Persamaan Kuadrat

Jika suatu fungsi kuadrat sudah tidak dapat dihitung dengan menggunakan rumus pemfaktoran dan kuadrat sempurna, maka rumus ABC persamaan kuadrat dapat digunakan untuk mencari akar-akar dari semua bentuk fungsi kuadrat.

Misalkan suatu fungsi kuadrat pada persamaan (1) sebelumnya hendak dicari akar-akar kuadratnya. Maka gunakan rumus ABC berikut:

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ ...(4)

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$x_{2} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Atau dalam beberapa buku mungkin ditulis seperti ini:

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a}$ ...(5)

Jika kamu menemukan rumus ABC seperti pada persamaan (5) di buku-buku, $D$ merupakan diskriminan yang nilai nya $\sqrt{b^{2} - 4 a c}$ .

Contoh Soal Persamaan Kuadrat

Contoh Soal

Akar-akar persamaan kuadrat $x^{2} - 4 x - 12 = 0$ adalah ...

Jawab

Cara Pemfaktoran

Jika kamu menemukan soal dengan koefisien $x^{2}$ nya bernilai 1, maka cara pemfaktoran yang termudah adalah:

$(x + k) (x + z) = 0$

Berapa nilai $k$ dan $z$ ?

Cari bilangan yang apabila $k \times z = - 12$ dan $k + z = - 4$

Yang memenuhi ternyata: $k = - 6, z = 2$

Jika dicoba:

$(x - 6) (x + 2) = 0$

$x^{2} + 2 x - 6 x - 12 = 0$

$x^{2} - 4 x - 12 = 0$ (benar seperti pada persamaan di soal)

Maka akar-akar kuadrat yang memenuhi adalah:

$x_{1} + k = 0$

$x_{1} + (- 6) = 0$

$x_{1} = 6$
$x_{2} + z = 0$

$x_{2} + 2 = 0$

$x_{2} = - 2$

Cara Kuadrat Sempurna

$x^{2} - 4 x - 12 = 0$

$x^{2} - 4 x = 12$

$x^{2} - 4 x + 4 = 12 + 4$

$(x - 2)^{2} = 16$

$x - 2 = \pm \sqrt{16}$

$x_{1, 2} = 2 \pm \sqrt{16}$

$x_{1, 2} = 2 \pm 4$

$x_{1} = 2 + 4 = 6$
$x_{2} = 2 - 4 = - 2$

Cara Rumus ABC

Kita akan langsung gunakan rumus ABC persamaan kuadrat pada persamaan (4)

Diketahui dari soal:

$a = 1$

$b = - 4$

$c = - 12$

Substitusi ke rumus ABC

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$x_{1, 2} = \frac{- (- 4) \pm \sqrt{(- 4)^{2} - 4 (1) (- 12)}}{2 (1)}$

$x_{1, 2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

$x_{1, 2} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2}$

$x_{1, 2} = \frac{4 \pm 8}{2}$