Jika p dan q adalah akar-akar persamaan x2-5x-1=0,maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2p+1 dan 2q+1 adalah

Jawaban Terverifikasi

Jawab

$p$ dan $q$ merupakan akar-akar persamaan $x^2 - 5x - 1 = 0$

Persamaan baru yang akar-akarnya $2p + 1$ dan $2q + 1$ adalah:

$[x - (2p + 1)][x - (2q + 1)] = 0$

$x^2 - (2p + 1)x - (2q + 1)x + (2p + 1)(2q + 1) = 0$

$x^2 - (2p + 1 + 2q + 1)x + (2p + 1)(2q + 1) = 0$

$x^2 - (2p + 2q + 2)x + (2p + 1)(2q + 1) = 0$

$x^2 - 2(p + q + 1)x + (2p + 1)(2q + 1) = 0$ ...(1)

Mula-mula kita perlu cari akar-akar $p$ dan $q$. Mari kita gunakan rumus ABC pada persamaan $x^2 - 5x - 1 = 0$

$a = 1$

$b = -5$

$c = -1$

$x_{1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x_{1, 2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$

$x_{1, 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 4}}{2}$

$x_{1, 2} = \frac{5 \pm \sqrt{29}}{2}$

$x_1 = p = \frac{5 + \sqrt{29}}{2}$

$x_2 = q = \frac{5 - \sqrt{29}}{2}$

Substitusikan $p$ dan $q$ ke persamaan (1)

$x^2 - 2(p + q + 1)x + (2p + 1)(2q + 1) = 0$

$x^2 - 2(\frac{5 + \sqrt{29}}{2} + \frac{5 - \sqrt{29}}{2} + 1)x + (2[\frac{5 + \sqrt{29}}{2}] + 1)(2[\frac{5 - \sqrt{29}}{2}] + 1) = 0$

$x^2 - 2(\frac{5 + \sqrt{29} + 5 - \sqrt{29}}{2} + 1)x + (5 + \sqrt{29} + 1)(5 - \sqrt{29} + 1) = 0$

$x^2 - 2(\frac{5 + 5}{2} + 1)x + (6 + \sqrt{29})(6 - \sqrt{29}) = 0$

$x^2 - 2(\frac{10}{2} + 1)x + (36 - 29) = 0$

$x^2 - 2(5 + 1)x + 7 = 0$

$x^2 - 2(6)x + 7 = 0$

$x^2 - 12x + 7 = 0$

Maka persamaan barunya adalah $x^2 - 12x + 7 = 0$