Jika p dan q adalah akar-akar persamaan x2-5x-1=0,maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2p+1 dan 2q+1 adalah

Jawaban Terverifikasi

Jawab

$p$ dan $q$ merupakan akar-akar persamaan $x^{2} - 5 x - 1 = 0$

Persamaan baru yang akar-akarnya $2 p + 1$ dan $2 q + 1$ adalah:

$[x - (2 p + 1)] [x - (2 q + 1)] = 0$

$x^{2} - (2 p + 1) x - (2 q + 1) x + (2 p + 1) (2 q + 1) = 0$

$x^{2} - (2 p + 1 + 2 q + 1) x + (2 p + 1) (2 q + 1) = 0$

$x^{2} - (2 p + 2 q + 2) x + (2 p + 1) (2 q + 1) = 0$

$x^{2} - 2 (p + q + 1) x + (2 p + 1) (2 q + 1) = 0$ ...(1)

Mula-mula kita perlu cari akar-akar $p$ dan $q$ . Mari kita gunakan rumus ABC pada persamaan $x^{2} - 5 x - 1 = 0$

$a = 1$

$b = - 5$

$c = - 1$

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$x_{1, 2} = \frac{- (- 5) \pm \sqrt{(- 5)^{2} - 4 (1) (- 1)}}{2 (1)}$

$x_{1, 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 4}}{2}$

$x_{1, 2} = \frac{5 \pm \sqrt{29}}{2}$

$x_{1} = p = \frac{5 + \sqrt{29}}{2}$

$x_{2} = q = \frac{5 - \sqrt{29}}{2}$

Substitusikan $p$ dan $q$ ke persamaan (1)

$x^{2} - 2 (p + q + 1) x + (2 p + 1) (2 q + 1) = 0$

$x^{2} - 2 (\frac{5 + \sqrt{29}}{2} + \frac{5 - \sqrt{29}}{2} + 1) x + (2 [\frac{5 + \sqrt{29}}{2}] + 1) (2 [\frac{5 - \sqrt{29}}{2}] + 1) = 0$

$x^{2} - 2 (\frac{5 + \sqrt{29} + 5 - \sqrt{29}}{2} + 1) x + (5 + \sqrt{29} + 1) (5 - \sqrt{29} + 1) = 0$

$x^{2} - 2 (\frac{5 + 5}{2} + 1) x + (6 + \sqrt{29}) (6 - \sqrt{29}) = 0$

$x^{2} - 2 (\frac{10}{2} + 1) x + (36 - 29) = 0$

$x^{2} - 2 (5 + 1) x + 7 = 0$

$x^{2} - 2 (6) x + 7 = 0$

$x^{2} - 12 x + 7 = 0$

Maka persamaan barunya adalah $x^{2} - 12 x + 7 = 0$